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[无标题]

(4)介质中电磁波速度相速,群速


　　Maxwell方程组 介质划分 相速度 群速度。


　　在这节以前, 讲得比较散。好在前面几节已经至少达到一个目的: 告诉了电磁 场规律是如何从实验总结而来。今后的讨论, 直接从Maxwell方程组开始。为 这目的, 以比较紧凑的形式从Maxwell方程组开始, 定义不同介质 定义两个 速度: 相速度和群速度 详细讨论群速度 证明任何介质中电磁波速度小于 真空中电磁波速度(所谓光速)。


　　等这一切准备好以后, 就可以讨论电磁学方程组的协变问题, 然后自然指出 SPR的光速独立原理的必然性。


　　关于群速度问题, Jackson里面有一节讲这个, 非常精采细致。我就按他的讲 了。另外, 电磁波在任何介质中速度小于光速, 也按Jackson的材料讲。


　　1。电磁场方程组(Maxwell方程组):


　　div[D(X,t)]=pf(X,t) (1) div[B(X,t)]=0 (2) curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (3) curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t] (4)


　　其中D叫作电位移矢量, 定义为:


　　D=e0*E+P (5)


　　e0是库仑定律中引入的比例常数 E是电场 P代表介质中的原子分子等受电场极化产生的偶极距密度。既然 P由E引起, 可写为:


　　P=G1(E) (6)


　　G1是某种矢量函数, 由介质特性决定。于是得知D也唯一被电场E决定。


　　(4)中的H叫做磁场强度, 定义为:


　　H=(B/u0)-M (7)


　　u0是安培定律中引入的比例常数 B是磁感应强度 M表示由于受磁场作用而引起介质的磁偶极距:


　　M=G2(B) (8)


　　G2是某种矢量函数, 由介质特性决定。于是得知H也唯一被磁场B决定。


　　方程组(1)-(4)是完备的电磁学方程组, 适合于任何介质。我们的目标是 解E, B。把(5)-(8)带进(1)-(4), 就得到关于E, B的非常复杂的方程组, 并且依赖于具体介质对电磁场的感应方式G1和G2。


　　2。根据G1和G2划分介质类型。


　　2-1。均匀线性各向同性介质。


　　线性表示P的任何分量是E的分量的线性组合(同理M是B的线性组合), 也即P可以表达为一个矩阵作用在E上:


　　P=A.E


　　A还可能是位置的函数, 表示介质不同部分性质可能不同。均匀性表示介质 性质处处相同, A不依赖于位置, A是常数矩阵。各向同性要求A是平行于E:


　　P=e0*xe*E (9)


　　同理有:


　　M=xm/((1+xm)*u0) (10)


　　xe和xm是为方便定义的两个常数, 它们和e0, u0一起给出了P, M依赖于电磁 场的比例常数。对一切介质, xe＞0 但是xm可正可负(顺磁介质/逆磁介质)。


　　显然在这种介质下,


　　D=(1+xe)*e0*E=ke*e0*E=e*E (11) B=(1+xm)*u0*B=km*u0*B=u*B (12)


　　{e,u}, 或者{ke,km}, 或者{xe,xm}就代表了介质特性, 我把他们叫做介质的 电磁参数。


　　另外, 我们定义一个量:


　　n=(ke*km)^(1/2) (13)


　　这叫介质折射率。


　　2-2。一点儿推广。


　　上面的均匀线性各向同性介质明显要求过分苛刻: 它要求介质对任何电磁波的 响应必须一样。比如对红光和蓝光的响应必须一样。实际上从三棱镜可以分光 这一事实就知道, 最理想的现实介质, 响应方式其实和电磁波频率有关。所以 上面的均匀线性各向同性介质的电磁参数其实是频率的函数。


　　3。均匀线性介质中的Maxwell方程组。


　　把以上讨论带进(1)-(4), 有:


　　div[E(X,t)]=pf(X,t)/e (14) div[B(X,t)]=0 (15) curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (16) curl[B(X,t)]=u*Jf[X,t]+u*e*D[E,t] (17)


　　这里已经忽略掉介质是导体的情形。


　　{14,15,16,17}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组, 共四个偏微分方程 根据Helmholtz定理, A还有一个规范自由度, i.e., 我们 可以按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果。通常采用的规范是Lorentz 规范, 这时候关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不再互相耦合, 可以独立 求解。如果电磁波传播的媒介是非导体线性均匀介质,那么它们的方程就变成 经典波动方程:


　　L[v(X,t)]-u*e*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e (18) L[A(X,t)]-u*e*D[A(X,t),{t,2}]=-u*Jf(X,t) (19)


　　{注: 在{e,u}随频率相关明显的介质, 以上方程只对特定频率满足}


　　E和B可一如下得到:


　　E=-grad[v]-D[A,t] (20) B=curl[A] (21)


　　(18), (19)就是波动方程(实际上是Poissoin方程),


　　重要评注: (18), (19)的推导利用了Lorentz规范条件 记住我们还有一个 自然的电流连续性条件。考虑到这二者之后, 并考虑(20), (21), 则(18), (19)完全等价于(14)-(17)。也就是说, 电磁场规律完全由(18), (19)决定。讨论Maxwell方程组的协变性, 也就等价于讨论(18), (19)两个偏微分方程 的协变性。


　　取其中一个分量来研究:


　　L[Y(X,t)]-u*e*D[Y(X,t),{t,2}]=0 (22)


　　令右边为零, 表示是在自由空间传播。这波动方程的通解是:


　　Y(x,t)=f(x+a*t)+g(x-at) (23)


　　a=(u*e)^(-1/2) (24)


　　这里用小x表示一维情形, 是为简单。表示波沿x轴方向传播。f, g是两个 任意光滑函数。


　　g(x-at)表示沿x正向传播, f(x+at)表示逆向传播。现考察正向波g(x-at)。


　　w=x-at (25)


　　叫作这波的一个相。D[w,t]=0是保相条件=＞


　　D[x,t]=a (26)


　　所以a就是相速度。


　　真空中速度为:


　　c=(e0*u0)^(-1/2) (27)


　　介质中速度为:


　　v=(u*e)^(-1/2)=c/n (28)


　　n是折射率。


　　如果介质电磁参数明显依赖于频率, (28)意味着不同频率的电磁波在介质中 速度不一样。


　　4。群速度定义。


　　如前所述, 介质中电磁波速度为:


　　a=c/n


　　而如前所述, n一般说来是电磁波频率的函数, 导致不同频率电磁波在介质 中跑的不一样快。


　　另外, 就我们的均匀线性介质而言, 可以证明


　　Exp[i(k*x-w*t)] (29)


　　总是Maxwell方程的一个特解, provided a relation between k and w:


　　w=g(k)


　　显然w/k=a=(u*e)^(-1/2)=c/n是速度。由于现在电磁参数是频率w的函数, 所以w/k=v(w), 是某一特定频率电磁波的(相)速度。


　　如果v不是w的函数, 那它是一个完全决定于介质的常数。任何频率的电磁波穿越这介质时速度一样。


　　对所有可能的k叠加起来就是我们的通解。由于v是由介质电磁参数决定的, 所以k和频率w不是互相独立的, 它们是个函数:


　　由于每个平面波的速度一般说来不一样, 以至于我们的初始波形会随时间变化。


　　这个变化中的波形的中心位置随时间移动的速度为:


　　vg=D[w,k] (30)


　　这就是所谓群速。在真空中或者与频率无关线性均匀介质中, 显然:


　　vg=v


　　这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变。


　　我们下面一节要专门讲群速度的意义。另外, 在前面贴的和这里差不多内容的(3-2), 讲得不清楚, 所以看这里的 可能好些。



　　(4)--群速电磁波速度极限


　　上节说道任何介质中平面波Exp[i(kx-wt)]总是Maxwell方程组的特解, 并 伴随条件:


　　w=g(k) (1)



　　显然w/k=a=(u*e)^(-1/2)=c/n是速度。由于现在电磁参数是频率w的函数, 所以w/k=v(w), 是某一特定频率电磁波的(相)速度。


　　(1)叫做色散关系, 其来源是因为不同频率(颜色)平面波在介质中速度不一样。k为正表示沿x正向传播 为负表示反向传播。但是介质均匀, 不可能判断波 方向, 所以有:


　　g(k)=g(-k) (2)


　　对所有可能的k叠加起来就是我们的通解(其实就是傅立叶变换)。


　　由于每个平面波的速度一般说来不一样, 以至于我们的初始波形会随时间变化。


　　这个变化中的波形的中心位置随时间移动的速度为:


　　vg=D[w,k] (3)



　　这就是所谓群速。在真空中或者线性均匀介质中, 显然:


　　vg=v


　　这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变。


　　我们这一节要专门讲群速度, 取材于Jackson电动力学。


　　不同频率平面波叠加(傅立叶变换)得到波动方程通解为:


　　y(x,t)=1/Sqrt(2*Pi)*Integrate[a(k)Exp[ikx-iw(k)t],{k,-Inf,+Inf}] (4)


　　a(k)=1/Sqrt(2*Pi)*Integrate[(y(x,0)+i/w(k)D[y,t=0])Exp[-ikx], {x,-Inf,+Inf}] (5)



　　反变换(5)解释一下: 因为波动方程是二阶方程, 所以需要两个初条件 y(x,0),D[y,t=0]。(5)里面就包含这俩初条件。所以这里和通常傅立叶积分 有点差别, 可以看作广义的傅立叶积分。实际上(4)和(5)表示了从初始波形 开始的一个演化规律。今后为方便, 都假设D[y,t=0]=0, 就是大家熟悉的变 换了。


　　a(k)=1/Sqrt(2*Pi)*Integrate[y(x,0)Exp[-ikx],{x,-Inf,+Inf}] (6)



　　a(k)的含义就是初始波形中k分波的强度(振幅), 也表示初始波中频率为w(k) 的平面波的强度。a(k)或者写为a(k(w))就是所谓频谱。


　　假如初始波形y(x,0)具有定域(dx)特征:


　　y(x,0)=0 for x＜-dx/2 or x＞dx/2 (7)



　　这就是所谓波包。这时候从(6)可以看出a(k)必然有定域dk的特征:


　　a(k)=0, for k＜dk/2, or k＞dk/2 (8)



　　比如初始波形直接就是平面波, 那y(x,0)是三角函数, 随x蔓延无穷, dx=Inf。这时候观察(6), a(k)就是个Delta函数, dk=0。反过来, 如果初始波形是个 delta函数, dx=0, 则(6)表面a(k)的定域dk=Inf。一个普遍的结论就是:


　　dx*dk＞=1/2 (9)



　　(9)很有意思的, 量子力学也用到来讲所谓测不准原理, 那里把粒子看成一个 波包了。


　　考虑初始波包, 设它具有较长定域dx, 这就意味着dk比较小, 也就是说如果 你画出a(k)图象, a(k)分布在一个尖峰k0附近小范围内。既然如此, 就可以 把w(k)在k0作台劳展开到一阶:


　　w(k)=w(k0)+D[w(k),k-k0](k-k0) (10)



　　这就是说我们的初始波有一系列频率非常接近的平面波叠加而成。把(10)带回(4),经历一系列运算, 可以得到:


　　y(x,t)=y(x-t*D[w(k),k=k0],0)*Exp[i*f(k0)] (11)


　　Exp[i*f(k0)]只是一个相因子, 模为一。(11)表明t时刻x处的y是从t=0时刻x-t*D[w(k),k=k0]处的y运动过来的, 而且 运动速度就是


　　vg=D[w(k),k=k0] (12)



　　这样, vg具有波包整体运动速度的含义, 所以叫做群速度。今后我们用vp表示 相速度:


　　vp=w(k)/k=c/n(k) (13)



　　所以vg和vp是完全不一样的。


　　我们下面把vg也用折射率表示出来:


　　vg=c/[n(w)+w*n(w)] (14)



　　where n(w)=D[n(w),w]。


　　n(w)＞0叫做正常色散, 对大多数介质适用, 这时候明显vg＜vp n(w)＜0称谓反常色散, 这时候vg＞vp, 甚至可以vg＞c! 但是不要以为这里违反 了SPR的光速最大的结论。因为这时候数学上表示w(k)随k变化非常迅速, 台劳 极数的一阶近似就不适用了。


　　要讨论介质中速度的极限问题, 首先要讨论e(w)以及n(w)的关系问题。这一 问题本世纪初其已经被很好的建立起来, 叫做Kramers-Kronig Relation, 数学非常复杂, 不易写在BBS上。我直接列出主要结论:


　　设入射电磁波在t=0到达x=0,i.e., y(0,t)=0, for t＜0, 这样我们就表示了 一个任意入射波 可以证明:


　　y(x,t)=Integrate[(2/(1+n(w))*a(w)*Exp[ikx-iwt],w] a(w)=1/(2*Pi)*Integrate[u(0,t)Exp[-iwt],x]


　　最后利用Kramers-Kronig Relation可以证明:


　　y(x,t)=0, for x-ct＞0


　　这就表示任何电磁波传播速度不可能大于c。


　　以上就是群速理论的简单介绍以及指出, 在经典电动力学的范围内, 已经 证明, 任何介质中的任何电磁波, 其传播速度不可能大于真空光速。


　　下面一节终于可以讨论波动方程的协变性质乐。


　　周末再写。


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123　圣经中的谜团


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