(3-1)

　　电动力学背景

　　狭义相对论的直接思想背景在于电动力学规律的经典协变不成立, 导致绝对 参照系的存在, 而探寻这参考系的努力均失败之上。后来为狭义相对论所作 的实验, 很多又基于电动力学原理。了解这些实验就必须熟悉电动力学。另 外, 50年代前大部分实验是无物理意义的, 比如迈氏实验。其原因也是电动 力学的原因。所以无论想了解狭义相对论的发生基础, 还是想了解相对论的 现代实验, 以及了解为什么50年代前的大部分实验无意义, 都得懂电动力学。

　　本节因此用来介绍电动力学。由于电动力学涉及非常复杂的数学, 所以很多 地方只能给结论, 无法作推导。希望写完后能使相对论爱好者至少知道相对 论的这最大的发生基础。

　　首先介绍电动力学的实验背景 然后介绍实验的数学归纳(Maxwell方程组) 再介绍Maxwell方程组在经典相对性下的矛盾 其后介绍Lorentz变换下的协 变性。内容太多, 大概得分子节来写。

　　电磁学基本实验定律:

　　1。Coulombs Law

　　这个是实验法则: 两个点电荷(q,q)间的相互作用力为强度随距离平方成 反比, 于电荷电量乘积正比, 方向在电荷连线上, 同性相排斥, 异性相吸引。

　　这个大家如此熟悉的陈述, 经历非常复杂的推导后, 可以化成微分等价形式, 称为高斯定理, 构成Maxwell方程组的一个方程:

　　div[E(X)]=p(X)/e0 (1)

　　div[.]表示散度算子, 定义为:

　　div[E]=Sum[D[E_{i}(X),X_{i}],{i,1,3}]

　　E_{i}是电场坐标投影 X_{i}是位置坐标分量 D是求导运算。

　　p(X)是X处带电体电荷密度。位置X处电场E(X)定义为该点单位正电荷受的力。

　　2。Amperes Law。

　　安培定律也是大家中学就接触的。这个定律是根据测量一个电流对路对附近另外一个电流回大家知道电流在周围 将造成磁场, 所以这实验其实测量的是磁相互作用。而且这个测量也就是磁感 应强度B的理论定义。可惜这结果不象静电力那样容易用嘴描述, 因为它涉及 回路积分。对长导线来说, 电线周围的磁场就遵从中学的所谓右手大拇指法则:

　　磁场方向是绕电流方向的圆切线, 而其强度正比于电流强度, 反比于轴向距离。

　　同样经历非常复杂的数学运算后, 我们同样得到一个等价微分形式:

　　curl[B(X)]=u0*J(X) (2)

　　curl是场旋度微分算子, J(X)是X处的电流密度, 表示X处单位时间通过单位横 截面的电荷, 是矢量 u0是比例常数。

　　curl的形式比较复杂, 不方便在BBS上用文本方式表达 用张量表示的话又怕 大部分人都不明白, 只好就写到这了。

　　另外, 从Coulombs LAW还可以直接得到E(X)的旋度为零:

　　curl[E(X)]=0 (3)

　　从Amperes Law得到B(X)的散度为零:

　　div[B(X)]=0 (4)

　　(1),(2)是两个实验归纳 (3),(4)是两个性质。性质三表明可以把电场表达为一个标量的梯度, 从而极大化简数学复杂度:

　　(3)=＞E(X)=-Grad[v(X)] (5)

　　v(X)是标量函数, 叫电势。Grad 是梯度微分算子。

　　性质(4)表示B(X)可以表达为另外一个矢量的旋度:

　　(4)=＞B(X)=curl[A(X)] (6)

　　A(X)称为矢量势。

　　{(1),(5)}=＞L[v(X)]=-p(X)/e0 (7) {(2),(6)}=＞L[A[X]]=-uoJ(X) (8)

　　L是Laplace微分算子。{(7),(8)}就是电势和矢量势的微分方程。解出它们来, 稳恒电磁场就确定了。

　　以上原则上稳恒电磁现象全部理论就完了。整个部分不含时间在里面, 所以 叫稳恒。但是, 电磁现象的另外一个重要部分是电磁波的传播, 它涉及下面 的实验定律:

　　3。Faradays Law。

　　这实验也是中学就介绍过的: 磁场中放一闭合电路, 让磁场变化起来, 结果 方向电路中出现电流。结论就是磁场的变化造成电动势。定量的说, 就是这 感应电动势负正比于磁通变化率(磁通是B(X)的面积分)。但是电动势本身是 电场E的回路积分, 这样就有关系:

　　Integrate[＜E,dl＞, 回路]=-D[phi,t] phi=Integrate[＜B,ds＞,回路所围面积]

　　Integrate是积分算子, ＜.,.＞是矢量内积算子, D是微分算子。上面是 Faradays Law的积分形式的数学描述。

　　如果这电路是静止的, 则通过比较直接的计算可的微分关系:

　　curl[E]=-D[B,t] (9)

　　这样就看出磁场的变化将改变电场。静电场的性质三此时被(9)取代。

　　如果回路相对于我们的坐标系有相对速度V, 则通过剧复杂数学推导可同样 得到微分关系(9)。这是非常重要的, 它说明Faradays Law是满足经典相对 性的!

　　还有一个电荷数守恒条件, 也是电流的连续性条件:

　　div[J(X,t)]+D[p(X,t),t]=0 (10)

　　到目前为止, 真空中的实验规律已经被总结完了。在均匀线性介质中的电磁学规律经过进一步推导可得下述更普遍规律:

　　div[D(X,t)]=pf(X,t) (11) div[B(X,t)]=0 (12) curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (13) curl[H(X,t)]=Jf[X,t] (14)

　　其中:

　　D(X,t)=e0*E(X,t)+P(X,t)(P是介质极化强度) (15)

　　称电位移矢量。

　　H(X,t)=(B(X,t)/v)-M(M是介质磁化强度) (16)

　　称磁场强度。

　　pf是自由电荷, 区别于极化电荷等束缚电荷 Jf同理是自由电流。

　　但是(14)是明显数学不对的, 因为它导致div[curl[H]]!=0, 这是数学错误的。其原因在于这些实验总结的规律发生了冲突。Maxwell改写(14)为:

　　curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t]

　　于是最后得到:

　　div[D(X,t)]=pf(X,t) (17) div[B(X,t)]=0 (18) curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (19) curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t] (20)

　　这就是著名的Maxwell方程组。我文章前面说法有错误, 实际它们是三个实验 的归纳, 不是四个。一开始我多记了焦耳发热定律, sorry。

　　可以说, 电磁学全部建立在(17,18,19,20)这些方程上面。它们就是电磁场的物理规律, 完全是实验归纳。按一贯的经验, 这些规律该是 不依赖于惯性系选择的。可是事情将大出你的预料: 结果表明, 它们将对惯性 系的选择不独立。下节再谈这部分。

　　另外, 周四有考试, 偶可能得周四后在续写。

　　(3-2)

　　下面是一些数学变换, 使上述共8个方程得到约化。因为计算复杂, 我直接给约化逻辑:

　　(18)=＞存在矢量势A使:

　　B(X,t)=curl[A(X,t)] (21)

　　{(21),(19)}=＞存在标量势v(X,t)使:

　　E(X,t)+D[A(X,t),t]=-grad[v(X,t)] (22)

　　{17,20,21,22}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t), A(X,t)}的方程 组, 共四个偏微分方程 根据Helmholtz定理, A还有一个规范自由度, i.e., 我们可以按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果。通常采用的规范是 Lorentz规范, 这时候关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合, 可以独立求解。如果电磁波传播的媒介是非导体线性均匀介质, 那么它们的 方程就变成经典波动方程:

　　L[v(X,t)]-a*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e0 (23) L[A(X,t)]-a*D[A(X,t),{t,2}]=-u0*Jf(X,t) (24)

　　(23), (24)就是波动方程(实际上是Poissoin方程), a是一个常数, 依赖于介质。

　　取其中一个分量来研究:

　　L[Y(X,t)]-(1/a)^2*D[Y(X,t),{t,2}]=0 (25)

　　令右边为零, 表示是在自由空间传播。这波动方程的通解是:

　　Y(x,t)=f(x+a*t)+g(x-at) (26)

　　这里用小x表示一维情形, 是为简单。表示波沿x轴方向传播。f, g是两个任意 光滑函数。

　　g(x-at)表示沿x正向传播, f(x+at)表示逆向传播。现考察正向波g(x-at)。

　　w=x-at (27)

　　叫作这波的一个相。D[w,t]=0是保相条件=＞

　　D[x,t]=a (28)

　　所以a就是相速度。

　　2。补(群速度)。

　　必须指出来的是, 这里的速度a是和光传输介质有关系的。电荷相互作用测量 总结成库仑定律时引入一个参数e0 电流线路的相互作用总结成安培定律时 引入一个比例常数u0 真空里方程(25)里面的a其实是:

　　a=(e0*u0)^(-1/2) (29)

　　在介质中, 因为介质里的原子会被电场E极化 而同时磁场也会磁化介质 这电场与介质的相互作用直接改变介质里面电荷与电流的分布。对最简单的 所谓线性均匀各向同性价值来说, 经过复杂运算, 可以证明只要把以前一切 公式里面的e0和u0换成:

　　e=(1+ke)*e0 (30) u=(1+ku)*u0 (31)

　　其中ke＞0,ku＞0, 则以前一切在数学上都是适用的。具体到目前的问题上, 就是介质里面的电磁波速度变成

　　v=(e*u)^(-1/2) (32)

　　显然小于真空里的速度。今后把真空里的速度记为:

　　c=(e0*u0)^(-1/2) (33)

　　这就是通常所谓光速了。

　　另外, (26)是一方程(25)的通解。它表明电磁波波, 不管是什么样的波, 其速度在真空和线性各向同性均匀介质中都是一样, 完全决定于电磁参数{e,u}。

　　这样的情况下, 电磁波的速度就是就是相速, 所谓群速度和相速度在真空和 在线性介质中没有任何差别。

　　如果你学过傅立叶展开的话, 就知道我们的通解可以被三角函数展开。这 展开的每一项叫作一个平面波 每个平面波的形式是:

　　Exp[i(k*x-w*t)] (34)

　　显然w/k=v是速度。对所有可能的k叠加起来就是我们的通解。由于v是由介质 电池参数决定的, 所以k和频率w不是互相独立的, 它们是个函数:

　　w=k*v (35)

　　在不是真空或者均匀线性各向同性的介质中(比如介质是个导体), 我们可以 得到不同于(25)的电磁波方程。这方程的解也不在有(26)那样的通解形式。但是平面波这样的特解常常是方程的解, 并附加条件:

　　w=f(k) (36)

　　显然(35)是这里的特例。再用傅立叶展开, 里面的每个平面波都具有速度:

　　v(k)=w/k (37)

　　由于现在w/k不是常数, 所以每个平面波的速度不一样, 以至于我们的初始 波形会随时间变化。这个变化中的波形的中心位置随时间移动的速度为:

　　vg=D[w,k] (38)

　　这就是所谓群速。在真空中或者线性均匀介质中, 显然:

　　vg=v

　　这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变。

　　　　相对论的问题里面, 速度是个大概念。我们这里引进两个速度概念, 将来都要重新提到。这里只能笼统说: 相对论有关光速的原理是电动力学协变性的需要。而我前面讲如此多的电动 力学, 是想让大家对电动力学的坚实基础有个印象。可以说它的原理直接是 实验归纳---除位移电流外, 它是实验的忠实归纳。但是最后会发现如此忠实于实验的理论和经典相对性有冲突。这才是光速原理的来源。至于什么科普书上神经兮兮的信息的传播等等, 全是哲学考虑, 我不喜欢。光速原理有一个必要原因, 就是电动力学协变性, 希望大家记住这点。我慢慢会把这些都写到bbs上, 但是后面数学越来越多, 我自己也越来越怀疑自己正在做的事情的意义了。