1. 巨人之争 

　　1927年九月，在意大利科摩(Como)召开了一次纪念意大利科学家 Alexaudro Volta(1745-1827)逝世一百周年会议，许多世界知名科学家应邀参加。Niels Bohr 在会议中首度公开地演讲他的互补原理(complementary principle)。

　　 Bohr 采用了大量的哲学语言来阐释互补原理，使大家感到震惊与困惑! 当时大多数人对于测不准关系及互补原理的深刻内涵还不大明了。事后法国物理学家Eugene Wigner言道，Bohr 的演讲不会使我们当中任何一位改变对量子力学的看法。

　　 几个星期后在布鲁塞尔举行的第五届 Solvay Congress，包括 Bohr, Einstein, Max Born, Ervin Schrodinger, Louis deBroglie, Werner K. Heisenberg 等世界最著名的科学家都出席了这项盛会。 Bohr 在会议中重述了他在科摩会议上的观点。由于Einstein 并未参加科摩会议，这还是他首次听到 Bohr 亲自阐述互补原理和对量子力学的诠释。Einstein 一直对量子力学的机率解释感到不满，他曾在写给 Born 的信中提到:“量子力学虽然令人赞叹，但在我的心中有个声音告诉我， 它还不是那真实的东西……我无论如何不相信上帝会在掷骰子!”因此人们急切地想知道 Einstein 对 Bohr 观点的反应。本世纪最伟大的两位科学巨人之间的大战就此揭开序幕。

　　 Einstein 起来发言，表示赞同量子力学的系综(ensemble)机率解释。deBrodlie-Schrodinger波不是代表单个粒子，而是代表分布在空间中的一个粒子系综。理论所提供的信息是关于这个过程的系综的，因此不赞成量子力学是描述单一过程的完备理论。Einstein 的发言立即激起了与会学者的热烈讨论。虽然Einstein和Bohr两人都尽量地使用客气的言词和有礼的态度，尊重自己的对手。但两人一交锋，就充分显示出问题的尖锐性。

　　 Bohr 极力地想说服 Einstein：难道不就是你第一个突破古典物理的框架，提出相对论和光的量子理论吗? 难道不就是你首先在 1905年提出光的波粒二象性思想的吗？不就是你将机率的概念引入来解释辐射问题的吗？ 像你这样一个量子物理的开拓者，难道不应该进一步接受更新的量子力学观点， 把理论更进一步向前推进？

　　 然而 Einstein 并不听这一套。他坚信，有一个离开知觉主体而独立存在的客观世界， 是一切自然科学的基础。为Einstein立传的作家 A.Pais 回忆道：“有一次和 Einstein 同行，他突然停下来，转身问我是否真的相信，月亮只有在我去看它的时候才存在？”

　　 Einstein 企图用一些理想实验来反驳测不准原理。首先，他设计了一个让电子通过单狭缝绕射的实验，认为这个实验可以提供一个精确的时空坐标，同时又能提供对此过程中能量和动量交换平衡的详细说明。 然而，Bohr 很快的指出，他不能避免在测量时仪器对电子的干扰，即电子与狭缝边缘的相互作用。 这在分析理想实验是十分重要的。

　　Einstein 见单狭缝难不倒 Bohr，第二天又想出了新的实验。他承认用确定位置坐标的同一系统来精确测量动量是不可能的，所以他以分开的装置，一个测位置，一个测动量。他设计了一个电子通过双狭缝干涉的实验， 当双狭缝开启时，从屏幕出现的亮点可以知道电子垂直方向的动量，分别关上其中一个狭缝， 就可以知道电子的确实位置。

　　然而 Bohr 在仔细思考后发现，如果关上其中任何一个狭缝，实验的状态就完全改变了。当双狭缝开启时，即便电子一个个发射出来，最后仍会在屏上形成干涉条纹。假如轮流开启一个狭缝， 虽然可以得知电子究竟经过那个狭缝，但最后却不会再有干涉条纹了。就这样，这个本来是Einstein 用来反驳量子力学的理想实验，经由 Bohr 的解释在今日已成了说明测不准关系和互补原理的标准范例。

　　 据 Heisenberg 事后回忆，Einstein 往往在吃早饭的时候告诉 Bohr 他所想出来反驳测不准原理的理想实验。Bohr 立即着手分析，总是在吃晚饭前，Bohr告诉Einstein，他的实验是驳不倒测不准原理的。如此接连数日， 甚至使一些原本怀疑 Copenhagen 解释的科学家，都转而支持Bohr 的立场了。

　　 会议落幕了。虽然 Bohr 成功的捍卫了测不准原理和互补性诠释的无矛盾性，但Einstein并未服输。他坚持：“上帝并不掷骰子。”这场大战正如火如荼地展开呢!

2. 爱因斯坦光盒 

　　三年后，第六届Solvay Congress开幕了。各国科学家都热烈地期待着 Einstein 和 Bohr 之间新的论战。这次 Einstein 经过了三年的深思熟虑，显得胸有成竹。他在黑板上画了一个盒子，盒上有一个小孔 H，H 可由快门S来启闭。快门则由盒中的时钟机械置来控制，小盒的重量是可以测量的。盒中装有一些辐射物质。我们可以调节快门使得刚好放出一个粒子之后就关闭。透过时钟，可以精确的量出粒子放出的时间。另外，测量粒子放出后盒子的重量，我们也可以知道粒子的质量。经由 E=mc2 的关系式，能量也可以准确地计算出来。于是违反了△E△t≥h/2π的测不准关系。这就是著名的 Einstein 光盒(Einsteins box)实验。由于实验根本不涉及观测仪器的问题，根本没有外来粒子会改变粒子的运动。所以测不准关系破灭了，因果律和准确性都恢复了。一场新的论战剧性的展开了。

　　这会儿 Bohr 遇到了严重的挑战，无法马上找到问题的答案。他喃喃地说，如果Einstein是对的，那物理学就完了。他和他的同事一夜未眠，检查实验的每一个细节，想要找出 Einstein 到底错在那里。经过通宵的奋战之后，Bohr终于找出了反驳 Einstein 的办法。

　　第二天，Bohr 也在黑板上画了一个草图。但和 Einstein 不同的是，他给出量称小盒重量的方法。他用弹簧把小盒吊起来。盒上有指针，可以沿固定在支架上的标尺移动。这样就可以读出小盒在粒子跑出前后的重量了。Bohr请大家回忆 Einstein 的广义相对论中的等效原理。 当时钟在重力场中发生位移时，它的快慢会发生变化。当粒子跑出盒子而导致盒子重量变化时，盒子将在重力场中移动一段距离。这样子读出的时间也会有所改变，因而导出测不准关系。 这是广义相对论中著名的红位移公式 △T=T△φ/c2 公式表示一个在重力场中移动的时钟，在移过一个位势差 △φ 时在时间T内时钟快慢的改变。Bohr随即用红位移公式导出了测不准关系。

　　这下子Einstein不得不承认Bohr的推论是无懈可击的!他自己在设计这个理想实验的时候，居然没有考虑到广义相对论的效应，实为一大疏忽，真是遗憾!Bohr用Einstein的相对论驳倒了他本人，取得了第二回合的胜利。 Bohr 的胜利获得了大多数物理学家的赞同。Copenhagen 解释也被奉为是量子力学的正统解释。

　　Einstein 对他的失败欣然接受。还有什么东西比他自己的理论对他更有说服力呢? 这次论战的结果是Einstein 量子力学态度的一个转捩点。他意识到在量子力学的形式体系内是驳不倒测不准原理的。他不再怀疑测不准原理了。 但他仍然对Copenhagen的诠释持否定的观点。因为量子力学本身不能证明机率特性是微观粒子本身的属性。 Einstein 失败了，但是并没有被说服。相反的，由于Einstein坚持他的信念， 而把论战提升到更高的境界。并在物理学及哲学上产生许多新的问题。

3. EPR！EPR! EPR 悖论 

　　1935 年 5 月, 在 Physical Review 上 Einstein 和他的两位同事 B. Podolsky和 N. Rosen 共同发表了一篇名为「Can Quantum-Mechanical Description of PhysicalReality Be Considered Complete?」 (量子力学对物理世界的描述是完备的吗?) 三个人异口同声地回答:「不!」

　　在这篇著名的文章中，作者首先阐述了他们对物理理论的看法： 一个严谨的物理理论应该要区别「客观实体」(object reality) 以及这个理论运作的观点。客观实体应独立于理论而存在。在判断一个理论是否成功时，我们会问自己两个问题：

　　(1) 这个理论是否正确?(2) 理论的描述是否完备?

　　只有当这两个问题的答案是肯定时，这样的理论才是令人满意的。理论的正确性当由实验来决定。而关于量子力学的描述是否完备则是这篇文章探讨的主题。在进一步讨论理论的完备性之前，我们必须先定义什么是完备性。作者们提出了一项判别完备性的条件： 每一个物理实体的要素必须在理论中有一对应物(every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory)因此我们决定了什么是「物理实体的要素」，那么第二个问题就容易回答了。

　　那么，究竟什么是「物理实体的要素」呢? 作者们以为: 「如果，在不以任何方式干扰系统的情况下，我们能准确地预测(即机率为一)某一物理量的值，那么必定存在一个物理实体的要素与这个物理量对应。」他们认为，只要不把这个准则视为一必要条件，而看成是一充分的条件，那么这个判别准则同样适用于古典物理以及量子力学中对实在的概念。

　　举例来说，在一维系统中，一个以波函数 φ(x) = exp(ip0x/2πh)(其中 p0 是一常数，i 表纯虚数，h 为 Planck常数)描述的粒子。

　　其动量的算符为h d p = ------ ----2(Pi)i dx

　　因此：pFI(x) = p0FI(x)

　　所以动量有一确定的值 p0. 因此在这种情形下动量是一物理实体。反之，对位置算符 q 而言，qFI = xFI ≠ aFI因此粒子的位置并没有一确定的值。它是不可预测的，仅能以实验测定之。然而任何一实验的测定都将干扰到粒子而改变其状态，被测后的粒子将再也不具动量 p0 了。 对于此情况，我们说当一粒子的动量确定时，它的位置并非一物理实体。

　　一般来说在量子力学中，对两个不可对易的可观察量(observable)而言，知道其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识.任何企图决定后者的实验都将改变系统的状态而破坏了对前者的知识。至此，作者们发现我们面临了如下的两难局面：
　　(1)或者，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的。
　　(2)或者，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的(即具有确定的值)。

　　因为，若两个不可对易的物理量同时具有确定的值，根据作者们对完备性的条件，在波函数的描述中应包含这些值。但事实上并非如此，因此波函数的描述是不完备的。

　　在量子力学中，通常假设了波函数包含了描述物理系统一切完备的资讯。乍看之下， 这样的假设似乎很合理。然而，Einstein等人指出，在这个假设之下，配合他们对物理实体的判别准则，将导出(2)也是错的。因此这是一个矛盾。 这就是著名的 EPR 悖论(EPR paradox 或 EPR dilemma)。

　　Einstein 等设计了一个理想实验来证实他们的观点。假设现在有两个粒子在t=0到t=T的时间之内相互作用，但在t>T之后分开，不再有任何交互作用。根据Schrodinger方程式，我们仍然可以算出以后任何时刻两个粒子的状态。现在，注意到两个粒子动量和算符 p1+p2 及位置差算符 x1-x2是可对易的。 因此可以同时具有确定的值，即有共同的本征态(eigenstate)。例如

　　FI(x1,x2) = D(x1-x2-a)

　　D是Dirac 的 delta 函数。这代表了动量和为零以及位置差为 a 的本徵态。现在假如我们去测量粒子1的位置，而得到结果x1，那么，我们可以同时地肯定粒子2的位置必定是x1-a.换言之，在不扰动粒子2的情形之下我们便可确定粒子2的位置。因此，根据EPR的判别准则，粒子2的位置是实在的。同样的，若是我们去测量粒子 1的动量而得到结果p，我们也能肯定粒子2具有动量-p.因此粒子2的动量也是实在的。由于两个粒子已经足够地分开，而没有任何交互作用，粒子 2 不可能知道我们究竟要测量粒子1的位置还是动量，从而「决定」它要在位置x1-a或具有动量-p，这两个量必定是同时存在的(即使我们不能同时去量它们)。换言之，就是违反了前面 (2) 的条件。

　　在假设 (1) 错的情形之下，Einstein 等推出了 (2) 也是错的结论，而这是不可能的。因此(1)一定是对的。所以Einstein等大胆的宣布，量子力学的描述必是不完备的。在获得了这样的结论之后，Einstein等同时期待了一个新而完备的理论将会出现。

　　纵观 Einstein 的论证，我们发现他们的推论中隐含了两项假设：
　　(1)物理实在是独立于观测者而客观地存在的。
　　(2)两粒子间传递讯息的速度不能超过光速，不存在超距作用(action-at-a-distance)。 这项假设后来被称为 Einstein 定域性原理(locality principle)。

　　当 EPR 的论文发表之后，立刻引起了广大的回响，甚至成了新闻焦点。当时的纽约时报以头条报导此事：「Einstein 抨击量子理论」

4. Bohr的反击 

　　EPR 的抨击再度激起了两位巨人之间新的论战。据当时Bohr 的同事Leon Rosenfeld 回忆道：「这对我们来说简直是晴天霹雳!(onslaught that came down upon us like a bolt from the blue.) 对Bohr 的影响太大了...」，「当Bohr 听到我报告Einstein 的论证后，马上放下所有的工作说，我们要立刻澄清这个误解!」

　　同年十月，Bohr 也在Physical Review 上发表了一篇同名的论文，反驳Einstein 等人的观点。Bohr 首先批评了EPR对物理实体的判别准则。Bohr 以为一个物理量只有在当它被测量之后才是实在的。在EPR的理想实验中，虽然我们对粒子的测量的确会得到预期的结果，然而只有在我们安排此一实验测量之后，该物理量(位置或动量)才是实在的。所以EPR 的判别准则是有问题的。

　　其次Bohr 分析了EPR 的理想实验，认为两个粒子在分开之后，仍然存在着某种关联性。因此在对粒子1做测量时，仍应视为对整个系统的扰动。换言之，Bohr并不赞同Einstein 的定域性原理。

　　量子力学是一个和谐的数学形式体系。它的预测与微观领域的实验结果都符合得很好。既然一个物理理论的预测都能够被实验所证实，而且实验又不能得出比理论更多的东西，那么，我们还有什么理由对这个理论提出更高的「完备性」要求呢? 量子力学确实描述了微观客体对巨观仪器的度量表现，这种巨观度量只能得出微观客体运动的统计结果。量子力学也只能透过这些巨观表现去猜测微观客体的某些属性，它确实反映了以作用量子为下限的客体之运动状况。因此，从它自身逻辑的相容性与和经验符合的程度来看，Bohr 认为，量子力学是完备的。

　　不过Bohr 的这篇文章里，充满了许多艰深的言词和哲学性的思想，使人不易抓住作者的中心思想。尤其是Bohr以为一个物理量只有当它被测量了以后才是实在的。这样的观点，使人不禁想问：「难道月亮只有我去看她时才存在吗?」

5. Bohm的理想实验 

　　1951 年，Princeton 大学教授David Bohm 提出了一个新的版本的EPR 悖论。Bohm 的方案是考虑一对处在单态(singlet state)的自旋1/2粒子。意即，粒子的自旋态为：(这里读者可能需要一点量子力学自旋及角动量相加理论的基础...)

　　|spin singlet> = (|z+>|z-> - |z->|z+>)/√2

　　两个粒子互相分开，并分别进入一探测器A, B探测器A,B 是一Stern-Gerlach 装置，可以安排成测量粒子任一方向自旋角动量的分量。现在假设A 被安排成测量粒子1 的z 轴自旋分量Sz, B也被安排成测量粒子2的z轴自旋分量。由于粒子对处于singlet state,我们不知实验结果为何，只知道获得正负h/2的机率都是百分之五十。然而，若是A测量的结果是+h/2，那么我们可以确定B 的结果必是-h/2.

　　这种情形有点儿像在袋子中放了黑白两球，我们伸手去拿一球，那拿到黑球或白球的机率各是50%。但假如我们拿到了白球，那袋中剩下的球必是黑球!

　　然而这样的类比还是太过简单了。量子系统可比这复杂多了! 因为我们也可以安排A，B 去测量自旋的x 轴分量或是其它方向的分量。我们的量子球不但可以是黑和白的，也可以是红和绿的!

　　一个自旋1/2 粒子的Sx 及Sz 的本徵态有下面的关系：
　　|x+> = (|z+> + |z->)/√2
　　|x-> = (|z+> - |z->)/√2
　　|z+> = (|x+> + |x->)/√2
　　|z-> = (|x+> - |x->)/√2

　　因此若将singlet state 用|x+> 和|x-> 表示，则为

　　|singlet state> = (|x->|x+> - |x+>|x->)/√2

　　所以同样地，如果我们量测粒子1 自旋的x 轴分量，得到的结果为正，那量测粒子2 自旋的x 轴分量结果必为负。(这并不奇怪，因为singlet state的自旋总角动量为零，因此两个粒子在任一方向的自旋分量必相反。)

　　现假设，让A 量测粒子1 的Sx, 而B 量测粒子2 的Sz, 那么即使我们得到A 的结果为正，我们仍不知道B 的结果为何。因为虽然我们知道粒子2 的Sx, 它的Sz 仍然完全未定。我们得到的结果仍是正负各百分之五十。

　　根据以上讨论，我们有下面的结果：
　　(1)如果A 和B 同时量测Sz, 那么两者的测量结果有百分之百的相关程度(即符号完全相反)
　　(2)如果A 量Sx 而B 量Sz, 那么两者的结果将没有任何的相关。

　　看来，在B 处测量的结果将和A 处做何种量测有关。但是A,B 可以相距几公尺，几公里，甚至几光年(原则上)! 在B 处的粒子2 如何能「知道」我们将在A处做什么测量，进而「决定」它的行动呢?(若测同一轴就跳到和A相反的方向，若测相互垂直的方向就可以随机?)

　　所以，在认为没有超距作用，即在A 处的量测不可能影响在远方的粒子2 的情形之下，我们只好认为，两个粒子在出发之时，就已经「想」好了要「告诉」侦测器何种结果。而且，两个粒子的「想法」是刚好相反的。

　　因此，两个不可对易的算符Sx 和Sz将同时地具有「物理实在」(physical reality).或者，我们可以把它叫做「密码」或「指令集」更恰当。我们可以将粒子的「思想」称为是「密码」或「指令集」。粒子也许并非想像中的无知，到了侦测器前面，才临时地「掷骰子」决定自己命运。冥冥之中正有一股力量在操纵一切：一种隐藏的，未知的参数控制了粒子的行为。这种「隐藏」的性质决定了我们观察的结果(spin up,spindown)。我们所见到的机率现象，只是统计的，平均的结果。这种观点称为「隐变量理论」(Hidden-variable theory)或是量子力学的「隐变量解释」。其实这样的观点并不陌生。例如在热力学中气体的温度，压力等巨观物理量，都可以用分子运动论，以大量分子作无规律热运动的统计平均效果加以说明。因此分子的质量，速度等可以看成是热力学中的「隐变量」，而分子运动论就是热力学的「隐变量解释」。然而，量子力学的隐变量理论将会遭遇严重的困难。详见后述。

　　粒子的密码或指令集就是EPR 所谓的「物理实体(physical reality)」。然而这些实体是分别属于两个不对易算符Sx 和Sz 的。量子力学对自旋的描述(二维的Hilbert 空间)显然不能(同时)包含这些实体，它们在理论中没有对应物。因此，不能认为量子力学的描述是完备的。

　　到此为止，我们可以根据Einstein 和Bohm 的理想实验，将EPR 的推论过程总结如下：Einstein 定域性原则，无超距作用。==> 两个不可对易的物理量(如p 及x, Sx 及Sz 等)将同时具有确定的值。==> 这些值并未包含在波函数(或自旋态等)的描述中。==> 量子力学的描述是不完备的。

　　可以看出争论的焦点在于定域性原则上。只要承认这个原则，似乎不可避免会得到EPR 的结论。然而，只要在微观的尺度上，量子力学能提出符合实验的完善描述，并作有效的预测，我们还能苛求什么呢? 「大自然就是这个样子!」我们应该安心地运用量子力学的思想于研究工作上，何必去管什么基础问题呢?量子力学的描述完不完备? 管它的呢!

　　事情至此似乎已变成纯是哲学观点的争论了。然而，到了1965 年，EPR 悖论发表30 年之后，情况有了戏剧性的转变。

6. Bell出场 

　　1964 年，J.S.Bell 在Physics I 上发表了一篇论文，指出任何企图保持Einstein定域性原则的隐变量理论都将不能和量子力学相容。这是著名的Bell 定理。Bell 利用Bohm 的单态粒子对实验推导了一个不等式，说明了定域性隐变量理论的相关性(correlation)和量子力学是不同的。

　　假设如同前面Bohm 的实验装置，A, B 侦测器可以被安排成测量a, b, c三个不同方向的自旋分量。a, b, c 三个方向是任意的，不需要互相垂直，甚至可以在同一个平面上。

　　如果，粒子从发射器出发之时已带有某种「密码」(这是定域性隐变量理论所预期的)，如(a+,b+,c-), 代表了粒子进入a 方向的侦测器结果将是正的，b方向结果也是正，而c 方向结果为负。由于两个粒子自旋方向相反，这样的组合共有八种，如下所示：粒子1 粒子2
　　N1 (a+,b+,c+) (a-,b-,c-)
　　N2 (a+,b+,c-) (a-,b-,c+)
　　N3 (a+,b-,c+) (a-,b+,c-)
　　N4 (a-,b+,c+) (a+,b-,c-)
　　N5 (a+,b-,c-) (a-,b+,c+)
　　N6 (a-.b+.c-) (a+,b-,c+)
　　N7 (a-,b-,c+) (a+,b+,c-)
　　N8 (a-,b-,c-) (a+,b+,c+)

　　重复这样的实验N 次，设各种情况出现次数分别是N1, N2,... N8. 自然的，N1+N2+......+N8 = N.

　　令P(a+,b+) 表示A 侦测器在a 方向测得结果为正，B 侦测器在b 方向测得结果为正的机率。而P(b+,c-) 表示A 侦测器在b 方向测得正，B 侦测器在c 方向测得负的机率，等等。例如，P(a+,b+) = (N3+N5)/N, P(b+,c-) = (N1+N4)/N。

　　现定义a, b 方向的相关程度系数E(a,b) 为

　　E(a,b) = P(a+,b+) + P(a-,b-) - P(a+,b-) - P(a-,b+)

　　注意到E(a,b) = E(b,a)。它代表了A, B 侦测器在a, b 两方向测量结果的相关程度。例如，在a=b 时，P(a+,b+) = P(a-,b-) = 0, 而P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/2,因此E(a,a) = -1. 这表示说若A, B 侦测器被安排成测同方向的自旋分量，所得结果必定相反。又如，a=-b, E(a,-a) = 1, 即A, B 的结果必相同。如果a 和b 相互垂直，则P(a+,b+) = P(a-,b-) = P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/4, 所以E(a,b) = 0. 这是说如果两侦测器所测的方向互相垂直，则两者的结果没有任何相关。由此可见这个定义符合我们对「相关」的直觉含义。根据定义，我们有E(a,b) = (N3+N5+N4+N6-N1-N2-N7-N8)/N同理E(a,c) = (N2+N5+N4+N7-N1-N3-N6-N8)/N

　　E(c,b) = (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N现在因为Ni (1≤i≤8) 都是大于等于零的整数，因此2(N3+N6-N2-N7) ≤2(N3+N6+N2+N7)

　　两边加上N1+N4+N5+N8, 得2(N3+N6-N2-N7)+N1+N4+N5+N8 ≤N3+N6+N2+N7+N同除以N, 得2(N3+N6-N2-N7)/N ≤(N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N + 1

　　我们发现不等式右边即是E(c,b) + 1, 而左边是E(a,b) - E(a,c) = 2(N3+N6-N2-N7)/N同理，-E(c,b) - 1 ≤E(a,b) - E(a,c)

　　因此|E(a,b) - E(a,c)| ≤1 + E(c,b)

　　这就是著名的Bell 不等式。这对任意方向的a, b, c 而言都成立。

　　现在，让我们来看看Bell 不等式和量子力学的预测是否相符。我们要以量子力学的方法去计算P(a+,b+), P(a+,c+) 以及P(c+,b+). 令S。a, S。b, S。c 的本徵态分别是|a+>,|a->, |b+>,|b-> 和|c+>,|c->. 例如，要计算P(a+,b+), 我们假设粒子1进入a 方向的侦测器得到结果为正(这机率显然是1/2). 因此，粒子2 必将处于|a-> 的状态。在B 处我们测量粒子2 的b 方向自旋分量。按量子力学，我们必须将|a-> 按|b+> 和|b-> 展开。如果a, b 两方向的夹角是θab, 那么结果是(up to a phase constant)

　　|a-> = sin(Beta/2 )exp(-iAlpha/2)|b+> - cos(Beta/2)exp(iAlpha/2)|b->

　　所以，粒子进入b 方向侦测器得到结果是正的机率是

　　sin2(θab/2)

　　因此

　　P(a+,b+) = sin2(θab/2)/2

　　同样的

　　P(a-,b-) = sin2(θab/2)/2

　　以及

　　P(a+,b-) = P(a-,b+) = cos2(θab/2)/2

　　所以

　　E(a,b) = sin2(θab/2) - cos2(θab/2) = -cosθab = -a。b

　　同理

　　E(a,c) = -cosθac,E(c,b) = -cosθcb

　　根据Bell 不等式，我们得到

　　|cosθac - cosθab| ≤1 - cosθcb对任意的a, b, c 皆成立。

　　然而，我们发现这是不可能的。例如，让a, b, c 在同一平面上，而且b 就在a,c 的角平分线上cos2θ- 2cosθ+ 1 ≥0 或cos2θ≥cosθ

　　当0 < θ< π/2 时，显然是不可能的。

　　J.F.Clauser 及M.A.Horne 等于1969 年改进并推广了Bell 不等式。他们的方案是利用光子对的偏振(polarization)相关性。Clauser 等并提出了可行的实验，检验Bell 不等式。其它如E.P.Wigner, A.Shimony, H.P.Stapp 等人也都相继提出了类似的不等式。

　　由于Bell 不等式完全基于Einstein 的定域性原理，因此Bell 定理提供了检验定域性原理的一项利器。如果实验结果证实Bell 不等式是对的，那么就违反了量子力学的预测；相反的，如果实验结果违背了Bell 不等式，也就同时否定了Bell 不等式的前提，Einstein 定域性原理。终于，这场论战又从哲学回到了物理，等待实验来判定谁胜谁败。

7,EPR最新进展 

　　非地域性越来越真实了

　　贝尔不等式(Bells inequalities)是指一组防止相距遥远的量子粒子在瞬间互相影响的数学关系式。在最近的三个实验中，这个不等式已被打破，这些实验分别在量子粒子距离、确定性、及去除一个重要实验漏洞上远超过以往的实验纪录。

　　1997年，由日内瓦大学Nicolas Gisin所领导的研究人员证明被扰乱的成对光子，即使经由光纤网路送到相距10公里外村庄中的两组侦测器中，仍会互相影响，他们目前已证明相距如此遥远的光子已违反贝尔 不等式至少九个标准误差（9σ）?

　　 1998年十月，在巴尔的摩所举行的美国光学协会会议中，Los Alamos美国国家实验室的Paul Kwiat和他的 同事们宣称他们已建立一个混乱光子对的超亮光源；藉着这个装置，在少于三分钟的时间内，他们得到一个违反贝尔不等式242个标准误差 （242σ）的结果。

　　同时，由Anton Zeilinger所领导的一个因斯布鲁克大学的研究组将侦测器相距400公尺远，且任意转换侦测器的速度快到侦测器间不可能以光速传讯（去掉因位置关系所产生的漏洞）。此研究群得到30个标 准误差（30σ）。 (W. Tittelet al., Phys. Rev.Lett. 81, 3563,1998. P. G. Kwiat etal. G.Weihs et al.,Phys. Rev. Lett., in press)

　　摘自Physics Today 12月号 1998 P.9

　　相关网址：
　　1.http://info.uibk.ac.at/c/c7/c704/qo/photon/_bellexp/Anton Zeilinger在因斯布鲁克大学所做实验的详细内容
　　2.http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9810003

8,《EPR的故事》拾遗 

　　(Jeter按：前些日子先承charmer上贴了《EPR的故事》供大家一饱眼福，又蒙rightzero提供了他过去整理保存的全份文件，我看了觉得原文的前言、注解、参考资料及推荐读物几部分也非常有价值，故补贴如下，算做“拾遗”吧。可惜不知原作者究竟何方高人（rightzero说原文是从台湾一个网站下载的），这么好的文章佚失了作者大名实在不该！同时因为原文中的人名习惯于均用英文，考虑一些朋友读起来可能不太方便，我重新整理了一下，将其中的著名科学家名字的英文与中文、生卒年、国籍列了个对照表，一并附上以供参考，也欢迎大家就其未尽之处继续拾遗。:) )

9,《EPR的故事》再拾遗

　 《EPR的故事》一文的源出地为阿伟的个人天地（http://www.linux.org.tw/~cwhuang/pub）。 作者名为黃志伟（阿伟），台大物理系（1993）毕业，他的主页上还有不少好东东呢，当然，是BIG5码哦。:P ）

　　以下附上原文标题及作者按语：

　　沒有人看月亮時她是否還在那兒?

　　年少輕狂。在即將結束大學生涯之前，為了給自己的四年生活留點記錄，遂應當年系刊「時空」主編之邀，寫了這篇關於量子力學基礎的文章，原名為「EPR反論與Bell不等式」。不料該屆r空後來竟流產了，本文當然也慘遭退稿命運。畢業後入營報效國家，於是將此文交給還在就讀研究所的好友日強加以潤飾修改後投給下屆的時空。不料該屆主編以乎不喜歡此類文章，本文再次慘遭退稿……:(

　　所幸隨近兩年來電子媒體的興起，本文終有重見天日的一天。兩年前受中華民國物理學會之託主持交互作用站，遂以「當你不在賞月時，月亮還在嗎?」，將本文發表於「量子力學」板。未料推出後頗受好評，許多網友紛紛詢問相關資料，令我始料未及。不料此時才發現我手邊的原稿及眾多參考資料，竟已在兩年軍旅生涯的反覆搬遷中遺失!手邊僅剩一些殘缺不全的草稿。哇!這真是太悲慘了……還好，日強在翻箱倒櫃後發現那邊仍保留了一份原稿及參考資料列表的影印。真是不幸中之大幸!

　　真是一波三折!這次終於能完整地將本文以HTML的格式重新上網，並附加當時發表於交互作用站時所欠缺的參考資料列表。即使看過的人還是值得再看一遍的……:)本文也歡迎非營利性質的轉載，不過請不要將我的名字拿掉，謝謝!

注解

　　1. Abraham Pais, Review Modern Physics 51, p863 (1979).
　　2. 指以互补原理与测不准关系为基础的量子力学非决定论之统计解释。这些观点主要是Bohr与Heisenberg在Copenhagen提出来的，后来逐渐被Born，Dirac，Pauli等等许多物理学家所接受。他们被人们称为Copenhagen学派，所以他们对量子力学的解释也就被称为Copenhagen解释。
　　3. 关于Bohr对Einstein光盒的分析，可见Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, p37.
　　4. A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Physical Review 47, p777-780 (15 May 1935).
　　5. L. Rosenfeld in Bohr, His Life and Work as Seen by His Friends and Colleagues, S. Rozental, ed., p114-136 (1967).
　　6. Bohr, Physical Review 48, p696 (15 Oct 1935).
　　7. 当然，如果我们坚持只有在两个物理量能够同时被测量时才认为它们同时是实在的，那我们未必会得到EPR的结论。但是，EPR反驳道，这将使得两个不对易的物理量那一个能被认为是实在的决定於我们将采取何种测量。一个合理的理论不该是如此的。见注4, p780.
　　8. J. Bell: On the Einstein Podolsky Rosen paradox Physics I #3,p195 (1964).
　　9. 后来Bell及其后继者都曾改进并推广这个不等式。因此所谓Bell不等式并非单一一个不等式，而是此类不等式的通称。
　　10. 推导这个公式需要量子力学的角动量理论。请参考任何一本量子力学的专书。如 J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, p165-168.
　　11. Physical Review Letter 23, p880-884 (1969).
　　12. 吴健雄， L. R. Kasday, J. D. Ullman, Bull. Am. Phys. Soc. 15,p586 (1970) Nuovo Cim. 25, p633-661 (1975).
　　13. G. Faraci, S. Gutkowski, S. Notarrigo, A. R. Pennisi, Lett. Nuovo Cim. 9, p607-611 (1974).
　　14. A. R. Wilson, J. Lowe, D. K. Butt, J. Phys. G Nucl. Phys. 2,p613-624 (1976).
　　15. M. Bruno, M. dAgostino, C. Maroni, Nuovo Cim. 40, p142-154 (1977).
　　16. M. Lamehi-Rachti, W. Mittig, Phys. Rev. Lett. 14, p2453-2554(1976).
　　17. S. J. Freeclman, J. F. Clauser, Phys. Rev. Lett. 28, p938-941(1972).
　　18. R. A. Holt, F. M. Pipkin, Preprint Harvard University (1973).
　　19. J. F. Clauser, Phys. Rev. Lett. 36, p1223-1226 (1976).Clauser在1976年这个实验是重复1973年Holt和Pipkin的方式（见注18），而得到和Holt及Pipkin相同的结果（违背量子力学）。但是Clauser发现在实验装置中一个装有电子枪和汞蒸气的Pyrex玻璃球（一种耐热玻璃）壁上有不正常的应力。在修正此项错误之后Clauser得到了符合量子力学的结果。
　　20. E. S. Fry, R. C. Thompson, Phys. Rev. Lett. 37, p465-468(1976).
　　21. A. Aspect, P. Grangier, G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49,p91-94 (1982).
　　22. A. Aspect, J. Palibard, G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49,p1804-1807 (1982).
　　23. N. David Mermin, Physics Today April 1985, p41.
　　24. Rechard P. Feynman, Simulating Physics with Computers,Int. J. Theo. Phys. 21, p471 (1982). Mermin将Feynman这段评注改写成诗歌的形式，十分有趣：We have always had a great deal of difficulty understanding the world view that quantum mechanics represents. At least I do, because Im an old enough man that I havent got to the point that this stuff is obvious to me.Okay, I still get nervous with it...You know how it always is, every new idea， it takes a generation or two until it becomes obvious that theres no real problem.I cannot define the real problem, therefore I suspect theres no real problem， but Im not sure theres no real problem.

参考资料及推荐读物

　　1. 要了解EPR佯谬和Bell不等式，下面几个是不可不读的好文章：Alastair Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality. 1991.J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, p223-241.David W. Cohen, An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic, Springer-Verlag, 1989, p94-104.Rae的那本书非常地浅，几乎不需要任何量子力学的预备知识，所以大一大二学生应也念得懂。Mermin的文章也不可错过。当然了，别忘了EPR的原始论文。
　　2. 纪念Einstein文集，第一卷，凡异出版社。
　　3. 探幽入微之路——量子历程，殷正坤著。
　　4. 柏拉图的天空，邱显正译，天下出版社。
　　5. J. F. Clauser, A. Shimony, Bells theorem: experimental tests and implications, Report Progress in Physics 41, p1881-1927 (1978).Clauser的这篇文章非常有系统的探讨了到1978年为止所进行过检验Bell不等式的实验及其结果，非常值得一看。（当然，Aspect的实验并不包含在内，见注21，22。）

人名对照表 

　　Alexaudro Volta——伏打（1745－1827）[意大利]
Albert Einstein——阿尔伯特·爱因斯坦（1879－1955）
Niels Bohr——尼尔斯·玻尔（1885－1962）[丹麦]
Eugene Wigner——尤金·维格纳
Max Born——马克斯·玻恩（1882－1970）[英国]
Erwin Schrodinger——艾尔文·薛定谔（1887－1961）[奥地利]
Louis deBroglie——路易·德布罗意（1892－1987）[法国]
Werner K. Heisenberg——沃纳·海森堡（1901－1976）[德国]
B. Podolsky——波多尔斯基
N. Rosen——罗森
Paul Dirac——保罗·狄拉克（1902－1984）[英国]
Wolfgang Pauli——沃尔夫冈·泡利（1900－1958）[奥地利]
Leon Rosenfeld——利昂·罗森费尔德
David Bohm——戴维·玻姆
J. S. Bell——贝尔[美国]
Richard P. Feynman——理查德·费曼（1918－1988）[美国]

地名对照表